Impedenza di  Radiazione

 

Qui di seguito vengono presentati i circuiti equivalenti per l’impedenza di radiazione di

 

-          sfera pulsante

-          pistone rigido su schermo  infinito

-          pistone rigido posto alla fine di un lungo tubo

-           tubo aperto con e senza flangia (basse frequenze)

 

I grafici sono ricavati da Acoustics di Leo L. Beranek (1954).

In un grafico, in particolare viene confrontata l’impedenza di radiazione del  pistone su schermo infinito e alla fine di un lungo tubo. Questo è un grafico fondamentale.

Anche se l’impedenza di radiazione del pistone rigido è rappresentata da una espressione poco maneggevole, esistono dei circuiti equivalenti approssimati. Dato che oggi le simulazioni si fanno con il computer non c’è alcuna necessità di spingere le semplificazioni oltre un certo limite. 

 

 

In questo schema viene illustrato il passaggio da impedenza meccanica a impedenza acustica re da impedenza a mobilità. Nel caso della sfera pulsante questo circuito equivalente rappresenta esattamente l’impedenza della sfera pulsante.

 

 

Impedenza di radiazione (esatta) per una sfera pulsante radicalmente in campo libero. La superficie di una sfera vale 4pa2 e vale quattro volte la superficie di un pistone rigido di pari diametro. Quando si confronta una sfera pulsante con il pistone rigido si deve tenere conto di questa differenza che (a parità di velocità) produce 6 dB in più nel livello di potenza emessa.

 

L’impedenza di radiazione della sfera pulsante è l’unico modello isomorfo per la cui impedenza si dispone di una forma analitica semplice. L’andamento generale è molto simile a quello del pistone rigido posto alla fine di un lungo tubo (almeno alle basse frequenze dove il pistone irradia su  tutto lo spazio. 

 

Questo è un grafico fondamentale che mette  a confronto l’impedenza specifica di radiazione dello stesso pistone rigido montato su schermo infinito ed alla fine di un lungo  tubo. Quando un woofer è montato in un cabinet si comporta 

-          a bassa frequenza come se fosse montato alla fine di un lungo tubo

-          ad alta frequenza come se fosse montato su schermo infinito.

Quindi questo grafico illustra l’effetto del pannello frontale di un diffusore acustico. Ma mostra anche un’altra cosa: nel passaggio da radiazione su spazio intero a mezzo spazio la  potenza acustica aumenta perché diminuisce lo spazio su cui viene “spalmata”.

 

 

Qui vengono messe a confronto l’impedenza di radiazione di una sfera pulsante con un pistone montato alla fine di un lungo tubo. A parità di velocità di volume e di superficie radiante la potenza acustica emessa a bassa frequenza deve essere la stessa. Ricordiamo che quello che conta è la parte reale dell’impedenza di radiazione che, nel caso del pistine, è maggiore nell’intorno di ka=1.

 

 

 

 

L’impedenza semplificata per il pistone rigido posto alla fine di un lungo tubo è lo stesso mostrato nella figura qui sopra ma con valori diversi. Le due impedenze, alle frequenze alte, coincidono a causa della dispersione che diminuisce al crescere della frequenza.

 

Fattore di direttività in presenza di pareti piane infinite. In pratica si tratta di esempi di trombe piane di tipo P1  all’interno delle quali si propagano onde sferiche. Si noti che le pareti si estendono all’infinito (quindi non ci sono riflessioni)

 

 

L’altra cosa da tenere sempre presente è il fattore di direttività. Della sfera pulsante in campo libero si sa tutti e il suo fattore di direttività Q vale 1.

Lo stesso vale per il pistone rigido posto alla fine di un lungo tubo  ma limitatamente alle  basse frequenze.

Per il pistone su schermo infinito  Q = 2.

Man mano che lo spazio su cui la sorgente irradia viene ridotto, l’impedenza di radiazione aumenta  e anche la potenza aumenta perché viene “spalmata” su meno spazio. L’efficienza meccanica della sorgente, invece, cambia poco perché l’impedenza meccanica di radiazione rimane piccola rispetto alla impedenza meccanica del trasduttore.

 

Tubo infinito

 

Guardando dentro ad un tubo di lunghezza infinita e privo di perdite si vede una impedenza puramente resistiva esattamente come in una linea di trasmissione elettrica.

 

Impedenza acustica

Impedenza meccanica (impedenza meccanica moltiplicata per il quadrato della superficie)

 

Questo se il pistone che pilota il tubo ha lo stesso diametro del tubo.

 

Tubo aperto con e senza flangia

 

Da: “Termination impedance of open-ended cylindrical tubes at high sound pressure level”

Di Mérouane ATIG, Jean-Pierre DALMONT, Joël GILBERT

Laboratoire d’acoustique de l’université du Maine, UMR CNRS 6613, avenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans Cedex 9, France

E-mail: merouane.atig@univ-lemans.fr

 

Questo studio sperimentale mostra l’effetto dell’arrotondamento dei bordi di uscita di un tubo per flussi ad alta velocità. Il bordo del tubo viene arrotondato con raggio di curvatura che arriva a 4 millimetri al massimo. Il fatto importante è che le discontinuità appaiono evidenti quando la velocità del flusso supera i 10 metri al secondo (36 km/h). Dalle considerazioni conseguenti alle ipotesi di D’Alembert e con il “fattore di sicurezza” pari a 4.35 (che deriva dalle osservazioni dirette) la massima velocità di flusso d’aria tollerabile in un condotte reflex era stata fissata a 8 m/s circa. Anche questo studio sperimentale conferma questa ipotesi. Si può quindi affermare che:

 

-          i condotti reflex devono limitare la velocità del flusso al massimo a 10 m/s (meglio 8 m/s)

-          è sufficiente che la smussatura del bordo sia nell’ ordine dei millimetri (quanto lo spessore delle pareti del tubo)

-          la forma deve essere circolare

-          le pareti del condotto devono essere lisce e senza attrito.

 

 

Impedenza acustica del tubo. P =pressione, U= velocità di volume

Impedenza acustica caratteristica

Numero d’onda w=pulsazione , c0 =velocità del suono

 

End correction = massa di correzione ovvero la massa che insiste sulla apertura del tubo

 

Nota: nel tubo infinito la massa di correzione non è presente e l’impedenzza del tubo è puramente resistiva. Per il tubo con flangia la massa di correzione è molto vicina a quella di un pistone rigido si pare infiita. Per il tubo non flangiato la massa di correzione è molto vicina a quella del pistone posto alla fine di un lungo tubo.

Quando il tubo è chiuso da una estremità ( con un driver a compressione) e aperto dall’altro presenta una risonanza a 0.056 ka

 

Impedenza di radiazione di una sfera pulsante in prossimità di pareti piane

 

La parte reale della impedenza di una sfera pulsante posta in prossimità di tre pateri (infinite) vale:

 

R/R0 =  1+ j(2kx)+ j(2ky)+ j(2kz) +

   + j[2k(x2+y2)1/2] + j[2k(x2+z2)1/2]+  

   + j[2k(y2+z2)1/2]+

   + j[2k(x2+y2+z2)1/2]

 

dove

j(a) è la funzione (sin a)/a

k il numero d’onda

x y x le lo coordinate della posizione della sorgente.

R0 è la parte reale dell’impedenza di radiazione della sfera pulsante in campo libero.

 

Questa espressione è valida anche per un pistone rigido montato in cassa chiusa nella ipotesi che la velocità di volume sua uniforme sulla superficie del box (in pratica finché il sistema si comporta come una sorgente omnidirezionale ovvero a bassa frequenza). Ponendo due coordinate a infinito si ottiene l’impedenza di radiazione con la sfera pulsante in prossimità di una e due pareti (o di un pistone nelle ipotesi dette).

Campo libero

R/R0 =  1

Una parete

R/R0 =  1+ 4 j(2kx)

Due pareti

R/R0 =  1+ 2j(2kx)+ 2j(2ky)+

  + 2j[2k(x2+y2)1/2]

Tre pareti

R/R0 =  1+ j(2kx)+ j(2ky)+ j(2kz) +

  + j[2k(x2+y2)1/2] + j[2k(x2+z2)1/2]+

  + j[2k(y2+z2)1/2]+

  + j[2k(x2+y2+z2)1/2]

 

Per x=y=z diventa

R/R0 =  1+ 3j(2kx) + 3 j[2k (0.707 x] + j[2k(1.442 x]

 

In questo caso la potenza acustica presenta un “buco” che arriva a –11 dB

Da: “Optimum Loudspeaker Placement Near reflection planes” Di k. O. Ballagh – AES - 1983

 

Fattore di direttività in presenza di pareti piane infinite. In pratica si tratta di esempi di trombe piane di tipo P1  all’interno delle quali si propagano onde sferiche. Si noti che le pareti si estendono all’infinito (quindi non ci sono riflessioni)

.

 

Numero di Strouhal

w = pulsazione

a=raggio del tubo

U = velocità media dell’aria sulla sezione

Numero di Mach

Rapporto tra la velocità dell’aria e la velocità del suono

 

 

Quando il numero di Strouhal è alto l’impedenza di radiazione aumenta e si può aggiungere una componente alla impedenza “lineare” in questo modo:

 

 

 

dove

 

 

quindi il termine aggiuntivo dipende linearmente dal numero di Mach, dalla radice cubica del numero di Strouhal e dal coefficiente beta che viene valutato sperimentalmente. Secondo diversi autori beta varia da 0.2 a 0.6.  Si noti comunque che Znl varia abbastanza lentamente