17 marzo 2018-03-17

MB

 

 

Convoluzione, deconvoluzione

 

La convoluzione di due funzioni g(t) ed f(t) è definita come segue:

Dato un sistema caratterizzato da g(t) e lo stimolo f(t), la risposta del sistema allo stimolo è la convoluzione di g(t) ed f(t).

Dal fatto che g ed f dipendono solo da t, si deduce che stiamo operando in regime lineare ovvero la risposta non dipende dallo stimolo. Questo consente di scambiare lo stimolo con la risposta impulsiva (come mostrato in figura).

 

In regime non lineare si deve scrivere, per esempio, g(t, A,f(t)) esprimendo così che il comportamento del sistema dipende dallo stimolo.

 

Distorsione armonica: se lo stimolo è una singola sinusoide la risposta del sistema dipende solo dall’ampiezza dello stimolo e si scrive   g = g(t, A)

 

Distorsione di intermodulazione: se lo stimolo è un segnale arbitrario la risposta del sistema dipende dall’ampiezza  e dalla forma nel tempo dello stimolo e si scrive   g = g(t, A, f(t)).

 

Quando più blocchi funzionali sono posti in cascata, se ogni blocco è lineare, e se ogni blocco funzionale presenta impedenza di ingresso infinita e impedenza di uscita nulla, allora l’ordine dei blocchi funzionali in cascata può essere commutato a piacere. Se un solo blocco funzionale non è lineare allora la commutazione non è possibile.

 

In presenza di non linearità i calcoli sono più complicati ma non impossibili. Un simulatore come SPICE esegue qualsiasi calcolo si a in regime lineare che non lineare.

 

È consuetudine, se la distorsione non lineare è bassa, trattare i sistemi “in regime di piccoli segnali” in sostanza si applica uno stimolo di ampiezza tale da rendere la distorsione trascurabile. Questo è possibile se la caratteristica del sistema è continua nell’intorno dello zero e se il rumore è sufficientemente basso.

 

Dato che C(jw)=G(jw)F(jw) possiamo anche scrivere che Vout(jw)=H(jw)Vin(jw) con evidente significato dei simboli. Dalla convoluzione nel dominio della frequenza si ottine che

 

H(jw) = Vout(jw)/Vin(jw)

 

Questa operazione che consente di ricavare H(jw) note lo stimolo Vin e la riposta Vout si chiama “deconvoluzione”. La deconvoluzione è sensibile al rumore ed alla non linearità. In particolare se Vout contiene delle componenti spettrali assenti in Vin (i prodotti di distorsione non lineare) il rapporto Vout/Vin diverge. Ciò non taglie che la deconvoluzione sia uno degli strumenti principali per ottenere la funzione di trasferimento di un sistema.