Trasformazioni di Fourier

di Mario Bon

17 dicembre 2016

 

La trasformata di Fourier è stata sviluppata dal matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier nel 1822, nel trattato “Théorie analytique de la chaleur” (per risolvere alcuni problemi di termodinamica). La Delta di Dirac è stata introdotta da Dirac attorno al 1920 mentre il concetto di funzionale è stato formalizzato solo nel 1935. Oggi tutti gli enti sono stati formalizzati in modo consistente e conforme agli scopi della fisica (spazi di Hilbert,  funzionali, ecc.). La trasformazioni di Fourier sono ora connaturate ed integrate negli spazi vettoriali lineari.

 

Per i dettagli si veda la Teoria Unificata dei Segnali Osservabili.

 

Con il termine trasformazioni di Fourier indichiamo tanto la serie quanto la trasformata integrale. La serie di Fourier stabilisce la corrispondenza biunivoca tra lo spazio dei vettori con sistema di base discreto, numerabile e superiormente limitato (dominio del tempo) e lo spazio delle ennuple (dominio della frequenza). Con i segnali periodici tutto funziona alla perfezione ed in modo facilmente comprensibile.

 

Riducendo l’incremento della frequenza ad un infinitesimo si passa dalla serie alla trasformata di Fourier (da somme a integrali, da spettro discreto a spettro continuo).

 

La trasformata integrale di Fourier porta con sè l’ incertezza tempo-energia dimostrata da Einstein che stabilisce l’impossibilità di conoscere contemporaneamente e con precisione arbitraria la durata e l’energia di un segnale (più aumenta la precisione dell’uno tanto più aumenta l’incertezza dell’altro). Ciò si esprime scrivendo che il prodotto della durata D (t) per  D (E) è minore o uguale di una costante.

 

D (t) D (E) <= k

 

Dalla incertezza tempo-energia, essendo lo spettro dei segnali fisici limitato in banda, deriva l’impossibilità di stabilirne l’estensione nel tempo con precisione arbitraria (il che non significa necessariamente che l’estensione temporale sia infinita ma che lo sia l’errore associato alla valutazione dell’estensione temporale del segnale quando se ne voglia conoscere l’energia con errore nullo).

 

Quali conseguenze ha tutto ciò sulla Teoria dei Segnali nelle varie formulazioni oggi conosciute? in pratica nessuna: i modelli e gli strumenti tecnici, seppur imperfetti, forniscono la precisione adeguata allo scopo. Le implicazioni teoriche, invece, sono importantissime ma non interessano nessuno. Quindi tutti sono contenti.

 

Si noti che lo spettro di un segnale periodico è perfettamente definito e la sua estensione temporale è infinita. I segnali periodici non esistono in natura (hanno energia infinita) e formalmente sono classificati a “potenza finita” .

 

 

bit

2^bit

durata in secondi della finestra di acquisizione

quando la frequenza di campionamento vale 44100 Hz

(standard del CDA)

frequenza minima rilevabile in Hz

8

256

0.00580498

172.26563

9

512

0.01160997

86.13281

10

1,024

0.02321995

43.06641

11

2,048

0.04643990

21.53320

12

4,096

0.09287981

10.76660

13

8,192

0.18575963

5.38330

14

16,384

0.37151927

2.69165

15

32,768

0.74303854

1.34583

16

65,536

1.48607709

0.67291

17

131,072

2.97215419

0.33646

18

262,144

5.94430839

0.16823

19

524,288

11.88861678

0.08411

20

1,048,576

23.77723356

0.04206

21

2,097,152

47.55446712

0.02103

22

4,194,304

95.10893424

0.01051

23

8,388,608

190.21786850

0.00526

24

16,777,216

380.43573700

0.00263

25

33,554,432

760.87147390

0.00131

26

67,108,864

1521.74294800

0.00066

frequenza minima di analisi in funzione della lunghezza della finestra di acquisizione. L’analisi “in tempo reale” richiede che il display sia rigenerato almeno 10 volte al secondo e quindi la finestra di acquisizione non può durare oltre qualche migliaio di campioni.  L’analizzatore Audio Precision è in grado di processare al massimo 131072 campioni.

 

La musica registrata nei CD Audio è campionata a 44100 Hz e la banda passante massima teorica si estende verso l’alto fino a  22050 Hz.

La minima frequenza presente su un CD audio è pari all’inverso della massima durata della registrazione (per un CD da 72 minuti 0.23 millesimi di Hertz).

Quindi verso le basse frequenze non ci sono limitazioni.

Per analizzare brani musicali estratti da CD Audio non serve superare i 44.1kHz di campionamento.

Per analizzare programmi musicali registrati in alta risoluzione si dovrà adeguare convenientemente la frequenza di campionamento.

Il vero limite dl CD Audio è la quantizzazione a 16 bit.