FFT inversione del tempo e della polarità

17 marzo 2018

MB

 

Detto v(t) il segnale, invertendo il tempo si ottiene v(-t):

 

FFT[v(-t)] = V(-jw) = V*(jw)    dove l’asterisco indica il complesso coniugato.

 

V(jw)  = a(w) + ib(w)

segnale

V*(jw) = a(w) - ib(w)

complesso coniugato

|V(jw)| = |V*(jw)|

i moduli sono uguali

 

Il che significa che invertire l’asse temporale corrisponde a cambiare di segno la parte immaginaria del segnale trasformato. Cị lascia invariato il modulo ed inverte il segno della sola fase.

L’inversione di polarità, invece, inverte il segno sia della parte reale che della parte immaginaria (per la linearità della FFT). Quindi invertire la polarità o invertire il segno della sola parte immaginaria non è la stessa cosa.

 

Inversione del tempo e della polarità

In questa figura sono rappresentate quattro versioni dello stesso segnale con le relative relazioni tra le loro trasformate.

-          primo quadrante (in alto a destra)     FFT[v(t)]=X(jw) = a+jb

-          secondo quadrante (in alto a sinistra)  inversione del tempo X(-jw)

-          terzo quadrante (in basso a destra)      inversione del tempo e della polarità –X(-jw)                                                                                                                   

-          quarto quadrante (in basso a sinistra)  inversione della polarità –X(jw)

si notino le relazione con il segnale complesso coniugato X*. I quattro segnali differiscono unicamente per le relazioni di fase tra le componenti spettrali.

 

In questa immagine, dove il segnale utilizzato non è simmetrico, si vede che le quattro versioni del segnale sono tutte diverse.

 

 

 

 

A riprova di tutto cị:  (TDF = Trasformazione Discreta di Fourier ma FT o FFT sarebbe lo stesso)