26 marzo 2018

MB

 

Fase, Arcotangente, Argomento, Ritardo

 

Questa è la definizione di arcotangente:

e questo è il grafico della funzione:

Ho rappresentato 3 curve ma ce ne sono infinite sia verso il basso che verso l'alto. Questo perchè la funzione tangente è periodica e tale è anche la funzione arcotangente.

 

L’inversa della funzione tangente (y=tan(a)=sin(a)/cos(a) è  la cotangente (y=cotan(a)=con(a)/sin(a). La funzione arcotangente si ottiene dalla tangente scambiando le ascisse con le ordinate quindi è la sua duale.

 

Dato che la funzione arcotangente è polidroma (non rappresentabile nella forma y=f(x) ), per i sistemi è stata definita una funzione apposita:

 

che è una funzione monodroma. In sostanza ad ogni valore dell'ascissa (x) corrisponde un solo valore della ordinata (y). In Fortran esistono  due funzioni distinte: atan e atan2. Questo è il grafico:

Quindi la fase (di un numero complesso z=a+ib)) è:

Angoli oltre i limiti di validità imposti dalle definizioni non ce ne sono.

 

Ricapitolando

 

-          esiste la funzione trigonometrica arcotengente che è una funzione polidroma

-          esiste una funzione arcotangente modificata  detta Arg(z) dove z è un numero complesso che è monodroma.

Arcotangente e Argomento sono due funzioni diverse e, nella teoria dei sistemi si usa la seconda.

 

Dato un segnale sinusoidale lo possiamo scrivere come:

 

 

 

s(t) = sin(wt+wT) = sin (wt+kx)

w= pulsazione =2 pi f
k = numero d'onda = w/c
c = velocità di propagazione
x = spazio
T = una costante con dimensione tempo


non è difficile mostrare che wT=kx  (kx= wx
/c  = wT)   
 
la fase di s(t) (il termine wT) dipende dalla scelta arbitrata di T. Dato che il tempo è omogeneo e che non esistono istanti privilegiati, T può essere scelto arbitrariamente perché corrisponde a spostare lo zero dell'asse del tempo. Spostare lo zero dell'asse temporale è esattamente come spostare le lancette dell'orologio: cambia l'ora locale ma la Terra continua a ruotare come prima.
Ne segue che la fase non ha significato fisico.
Invece hanno significato fisico le differenze di fase tra le componenti spettrali di un segnale non sinusoidale. Infatti, modificando le relazioni di fase, la forma nel tempo del segnale, s(t), cambia (perché lo spettro di ogni segnale è unico). Vista la definizione di Arg(z), alterare la fase oltre 2
p (oltre 360°) oltre a non servire a nulla, è contrario alle definizioni.

 

Ritardo e ritardo di gruppo

Nell'ambito della Teoria dei Sistemi si definisce il ritardo di gruppo (la derivata sulla frequenza della fase). Il ritardo di gruppo dipende, in generale, dalla frequenza. Esistono sistemi che ritardano le componenti spettrali di un segnale in modo proporzionale alla loro frequenza. In questi sistemi, detti a fase lineare, avviene che:
Arg(H(jw)) = wT con T costante
Ne segue che la derivata di Arg(H(jw)) vale T ed è costante.
Questo T comporta la "traslazione rigida" del segnale nel tempo senza modificarne la forma.

È quello che succede ad un segnale quando transita lungo una linea di trasmissione non dispersiva (un cavo) la cui banda passante sia molto maggiore della larghezza di banda dello spettro del segnale stesso: entra in un certo istante ed esce, con la stessa forma, dopo un tempo T.

 

Eccesso di fase

 

Esistono segnali a fase minima ed a fase lineare ma esistono anche i sistemi a fase mista. Anzi, dato che i sistemi a fase minima ed a fase lineare sono delle idealizzazioni, i sistemi fisici vanno considerati tutti a fase mista.

Dato un generico sistema, la differenza di fase tra la caratteristica di fase misurata e quella che avrebbe se fosse un sisema a fase minima è detta eccesso di fase. L’eccesso di fase si misura non senza fatica.

 

Eccesso di ritardo

 

Dato un generico sistema, la differenza di ritardo di gruppo tra il ritardo misurato e quello che il sistema avrebbe se fosse a fase minima è detto eccesso di ritardo. L’eccesso di ritardo è pari alla derivata sul tempo dell’eccesso d fase.

Dalle definizioni deriva che nel range di frequenze dove l’eccesso di ritardo è costante il sistema si comporta come se fosse a fase minima.

 

Quando l’eccesso di ritardo è costante il sistema è equalizzabile. Quando l’eccesso di ritardo non è costante il sistema non è equalizzabile. Ne segue che l’eccesso di ritardo indica il tipo di intervento necessario per correggere un sistema (per esempio nella correzione della acustica ambientale)