Trasformazione di Hilbert e segnale analitico

17 dicembre 2016

MB

 

Scriviamo il segnale u(t) come sovrapposizione di coseni:

 

u(t) = Si cos(wi t + fi)       wi pulsazione i-esima    fi fase i-esima

 

Si noti la mancanza del termine in continua: u(t) possiede media nulla. La trasformata secondo Hilbert di u(t) è:

 

H{u(t)} = Si sin(wi t + fi)     (Rice, 1944)

 

Definiamo il segnale analitico associato a u(t) come  z(t) = u(t) + j H{u(t)} . L’inviluppo (envelope) di u(t) è il modulo di z(t) mentre la frequenza istantanea è la fase di z(t). I segnale analitico è utile nella trattazione formale dei segnali modulati (in ampiezza, frequenza o fase). 

 

Trasformazione di Hilbert e segnale analitico #2

 

Scriviamo u(t) in forma complessa:

 

u(t)= Acos(wt) + j Bsin(wt)

 

la trasformata di Hilbert è lineare e la possiamo applicare alla parte reale e alla parte immaginaria separatamente.

 

 

La trasformata trasforma il coseno in seno e il seno in coseno.

 

In sostanza si applica una rotazione di 90° a ciascuna componente spettrale.

 

si ottiene quindi

 

H[u(t)]= Asin(wt) - j Bcos(wt)

 

il segnale analitico è, per definizione  = u(t) +j H[u(t)]

 

si definisce Inviluppo la grandezza sqr(u2(t) + (H[u(t)])2)

fase istantanea f=atan(H[u(t)]/u(t))