Teoria dei segnali

(per fisici e ingegneri)

di Mario Bon

12 dicembre 2012

(ultima revisione 20 gennaio 2017)

Paragrafi di questo capitolo

Premessa

La Teoria Classica dei segnali

Segnali e Meccanica Quantistica

La Teoria Unificata dei Segnali (per sommi capi e senza semplificazioni)

Dithering

Teoria dei segnali

La Teoria dei Segnali è sintetizzata in questa espressione:

|A> = S_i|e_i><e_i|A> = S_ia_i |e_i >

che esprime, nella notazione di Dirac, la rappresentazione di un vettore |A> (nel dominio del tempo) attraverso le sue componenti a_i (ovvero lo sviluppo in serie di Fourier del vettore |A>). La ennupla ordinata di coefficienti complessi a_j è lo spettro di |A> mentre |e_j><e_j| è il proiettore elementare iesimo che rappresenta l’azione dell’analizzatore di spettro.

Quello che resta è riassunto da queste altre due definizioni:

convoluzione di A e B |A(t)> = <B(T)|A(T-t)> = <B(T-t)|A(T)>

correlazione di A e B |A(t)> = <B(T)|A(T+t)> = <B(T+t)|A(T)>

L’autocorrelazione è un caso particolare della correlazione quando A=B

Premessa:

Le ipotesi alla base della Teoria dei Segnali sono le stesse su cui si fonda tutta la Fisica (dalla Relatività alla Teoria dei Sistemi):

Omogeneità del tempo	Non esistono istanti privilegiati. I fenomeni non accadono perché è venerdì 13 ma perché sussistono le cause che li determinano. Consente di definire arbitrariamente lo zero dell’asse temporale. Dalla omogeneità del tempo discende la Conservazione dell’Energia.
Anisotropia del tempo	Il tempo va solo da una parte, non si può tornare indietro. Questo determina alcune cose: - i segnali devono essere rappresentati da funzioni del tipo y=x(t) - le cause precedono sempre gli effetti (sistemi causali) Il tempo avanza nella direzione in cui l’entropia cresca.
Velocità della luce costante	i segnali elettromagnetici si propagano, nel vuoto, con velocità massima pari a quella della luce.
Lo spazio è omogeneo ed isotropo	In assenza di campi, non esistono posti o direzioni privilegiati. Lo spazio, in sé, non è causa. I segnali che si propagano nei mezzi non dispersivi conservano la forma.

La Teoria dei Segnali non può prescindere dalla Relatività e, infatti, dalla Relatività discendono le proprietà dei segnali:

- le relazioni di causa ed effetto (prima, dopo)

- la velocità massima di propagazione dei segnali

- la conservazione dell’energia

- la possibilità di definire arbitrariamente l’origine dell’asse temporale

- la forma matematica delle funzioni che rappresentano i segnali.

Ma non è finita qui: dato che nessun fenomeno può richiedere o impiegare energia infinita, qualsiasi segnale deve possedere energia finita. In più ogni segnale fisico ha un inizio e una fine ed è quindi definito su un intervallo di tempo determinato (un intervallo chiuso). Matematicamente questo si esprime scrivendo:

Questa espressione stabilisce che la funzione x(t), che rappresenta il segnale, è una funzione quadrato sommabile di L₂.

L’inizio dell’intervallo di integrazione è posto uguale a 0 perché il tempo è omogeneo. Prima di 0 e dopo T il segnale è nullo (per ipotesi).

Lo spazio L₂è uno spazio vettoriale lineare. L’espressione qui sopra implica che sussista l’isomorfismo tra lo spazio dei segnali osservabili e lo spazio delle funzioni L₂ (comprese le variazioni di pressione o segnali acustici).

Per quanto appena detto, i segnali periodici, a rigore, non esistono. Infatti un segnale periodico dovrebbe estendersi su tutto l’asse temporale (da prima del Big Beng e oltre la fine dell’Universo) e avrebbe energia infinita. Per questioni pratiche è utile ipotizzare l’esistenza di segnali periodici (che la teoria Classica dei Segnali classifica come “segnali a potenza finita”). In realtà il set di frequenze utili per definire la trasformata di Fourier di un segnale, nullo per t<t1 e per t>t2, è n/(t2-t1) con n=1,2,3,….

La Teoria Classica dei segnali

Nella Teoria Classica i segnali si distinguono segnali: determinati, aleatori, a potenza finita, ad energia finita, stazionari, ergodici, ecc. A rigore, per decidere in quale di queste categorie rientra un segnale, lo si dovrebbe osservare per tutta la sua storia (tempo infinito). In pratica le sessioni di misure (le osservazioni dei segnali) hanno un inizio e una fine e hanno come scopo la “conoscenza” del segnale. Conoscere un segnale significa conoscere la sua forma analitica (il suo spettro). Ciò è possibile, a rigore, solo per i segnali periodici (che non esistono) per segnali ipotizzabili come periodici o per i segnali rigorosamente limitati nel tempo di cui si sia osservata (e registrata) l’intera storia dall’inizio alla fine (ipotesi di annullamento).

Per definizione qualsiasi segnale registrato (dall’inizio alla fine) è un “segnale determinato” perché se ne conosce ogni istante della sua storia (basta guardare la registrazione). In ultima analisi ci troviamo a studiare solo segnali determinati. Questo è quello che fa l’analizzatore di spettro: l’analizzatore di spetto tratta esclusivamente segnali determinati.

Segnali e Meccanica Quantistica

In Meccanica Quantistica lo stato di un sistema è dato dalla combinazione lineare di tutti i possibili stati che il sistema in esame può assumere. Per un segnale i possibili stati sono tutti i versori di base dello spazio L₂ (cui appartiene il segnale) ovvero le funzioni e^jwt con w variabile come serve. Lo “stato” del segnale è una combinazione lineare di versori di base dello spazio di appartenenza.

	Meccanica Quantistica	Teoria di Segnali
funzione di L₂	funzioni d’onda \|x(t)>	segnale \|x(t)>
sistema di base	e^jwt	e^jwt
significato del modulo quadro di \|x(t)>	Probabilità	Energia
Grandezze coniugate	Spazio / velocità	Ampiezza nel tempo / spettro
Funzioni d’onda e Segnali differiscono per il significato fisico attribuito al modulo quadro di \|x(t)>.

Rispetto alle funzioni d’onda, utilizzate nella Meccanica Quantistica, i segnali godono di un quadro formale più semplice:

i segnali sono rappresentati da funzioni reali monodrome y=x(t) (ampiezza in funzione del tempo)
i sistemi di base dei vettori bra <x| e ket |x> coincidono
il sistema di base è ortonormale ( <e_m|e_n> = 0 per ogni coppia n,m)

ne segue che l’immaginario coniugato si riduce al più familiare complesso coniugato quindi <x*| = |x> dove x* è il complesso coniugato di x (e se x è reale x*=x).

Ne segue che:

I segnali sono un sottospazio dello spazio delle funzioni d’onda quantistiche.

In tal modo, chi ha studiato Meccanica Quantistica, conosce anche la Teoria dei Segnali (e la Teoria dei Sistemi)

Il formalismo di Dirac ed il concetto di operatore (in particolare di proiettore elementare) si applicano anche ai segnali.

Per concludere la Teoria dei Segnali non può prescindere dalla Relatività e nemmeno dalla Meccanica Quantistica con la quale condivide il formalismo e il Principio di Heisemberg. Visto così tutto rientra in un quadro unico e consistente che realizza l’ unità di trattazione con notevole economia di pensiero. Ciò è conforme al fine del “Programma di Hilbert” che gli intuizionisti vorrebbero fallito.

Chi volesse intendere questo articolo come un duro attacco contro le posizioni intuizioniste e neo platoniste… ha visto giusto. Qualsiasi teoria che non accolga i principi del formalismo di Hilbert è un clamoroso passo indietro verso l’ignoranza. Va poi notato che il primo formalista è stato Euclide di Mileto.

La Teoria Unificata dei Segnali (per sommi capi e senza semplificazioni)

Il fondamento della Teoria Unificata dei Segnali è l’isomorfismo che sussiste tra lo spazio dei segnali fisici (segnali osservabili) e lo spazio delle funzioni L₂. Tale spazio è uno spazio di Hilbert (uno spazio di Banac completo, in sostanza uno spazio vettoriale generalizzato). Ne segue che i segnali sono vettori. Conoscere un vettore equivale a conoscere le sue componenti. Ne segue che conoscere un segnale significa conoscere il suo spettro. Noto lo spettro è nota la forma analitica del segnale (e anche il segnale analitico) corrispondente. Lo strumento che ricava lo spettro di un segnale è l’analizzatore di spettro.

L’elemento unificante della Teoria Unificata dei Segnali è lo strumento di misura (analizzatore di spettro) o meglio il criterio di analizzabilità di un segnale ovvero la possibilità di ottenere la forma analitica del segnale con errore noto.

La Teoria Unificata dei Segnali riconosce solo due tipi o classi di segnali:

Classe A	Sviluppabili in serie di Fourier con errore noto	segnali cinematici: non è necessario conoscere le cause che li hanno generati. Sono misurabili.
Classe B	Tutti gli altri	segnali dinamici: è necessaria una qualche conoscenza delle cause che li hanno generati. Non sono misurabili ma solo stimabili.

La differenza tra misura e stima è essenziale: la misura è tale se l’errore di misura è noto. La stima non è una misura.

Si noti che è richiesta solo la sviluppabilità in serie di Fourier (non la trasformabilità) perché l’analizzatore di spettro tratta qualsiasi segnale come se fosse un periodo di un ipotetico segnale periodico. I segnali osservati hanno sempre spettro discreto e superiormente limitato e i sistemi di base (di un analizzatore) contengono sempre un numero finito di versori.

Per analizzare un segnale di classe A si possono fare due ipotesi:

ipotesi di periodicità	Il segnale rappresenta un numero intero di periodi di un ipotetico segnale periodico
ipotesi di annullamento	Il segnale è diverso da zero in un intervallo (dove è completamente noto) e è ipotizzato nullo al di fuori di esso (prima dell’inizio e dopo la fine).

La scelta dell’una o dell’altra ipotesi dipende da come si presenta il segnale.

L’analizzatore di spettro è un banco di proiettori elementari il cui sistema di base deve coincidere con quello dello spazio cui appartiene il segnale da analizzare. Utilizzando la notazione di Dirac possiamo scrivere:

l’operatore |e_i><e_i| è un proiettore elementare, le e_i sono i versori del sistema di base (che deve essere lo stesso per il segnale e l’analizzatore). S(t) è una funzione reale. I coefficienti a_i sono numeri complessi che formano la ennupla ordinata che rappresenta lo spettro di s(t).

La Teoria Unificata dei Segnali mette in evidenza alcune importanti limitazioni (implicite nella Teoria Classica dei Segnali) che vengono superate e risolte con l’introduzione dell’insieme rosso e introducendo una forma specifica di corrispondenza biunivoca (tra gli insiemi rossi). La teoria è stata pubblicata nel 2014.

Dither

Il dither è un rumore casuale che viene aggiunto ad un segnale prima che questo venga convertito da un convertitore A/D. I segnali periodici (di ampiezza “piccola”) non trattati con il dither presentano uno spettro con delle righe che coincidono con quelle di distorsione armonica.

Questo avviene anche se il convertitore A/D utilizzato è perfettamente lineare quindi non si tratta di distorsione ma di errore di quantizzazione che, per segnali periodici, è anch’esso periodico. Lo spettro di un segnale periodico è composto di righe.

La presenza del dither aumenta la dimensione dell’insieme rosso quindi non è desiderabile e va impiegato solo quando e se necessario (in sostanza con segnali periodici privi di rumore). Se nel segnale è già presente una certa quantità di rumore è unitile aggiungerne dell’altro con il dither.

Ora c’è chi sostiene che il dither debba sempre essere aggiunto. In realtà se viene aggiunto quando non serve non fa altro che peggiorare (di poco) il rapporto S/N in un modo che rimane probabilmente non udibile.

L’aggiunta del dither fa scomparire, nelle misure di distorsione armonica, gli antiestetici picchi che vengono interpretati come distorsione armonica (motivo per cui ci sono lettori CD che aggiungono dither di default così le misure hanno un aspetto migliore).

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