Teoria dei Filtri

(in breve e condensata)

di Mario Bon

19 dicembre 2012

(ultima revisione il 1 marzo 2017)

La teoria dei Filtri è una parte della Teoria dei Sistemi.

Se l’argomento vi interessa acquistate un buon libro a livello universitario.

In questo capitolo

I filtri

Classi di filtri

Ordine dei filtri

Filtri realizzati con reti RC

Topologie di filtri particolari

Effetto del filtro passa basso sulla risposta a bassa frequenza del woofer

Filtri analogici, Filtri digitali

Teoria dei Filtri

I filtri

Il filtro è un sistema, attivo o passivo, digitale o analogico, in grado di attenuare o esaltare specifiche bande di frequenza di un segnale. In pratica i filtri modificano la risposta in frequenza del sistema nel quale sono inseriti. I controlli di tono, per es., sono un particolare tipo di filtro. Il DRC, in questo senso, non è un filtro.

I filtri cross-over, presenti all’interno dei diffusori acustici, sono filtri passivi realizzati con reti passive RLC e, più raramente, con trasformatori o autotrasformatori.

Ci sono tanti tipi di filtri (classificazione per funzione), per esempio :

Funzione	Azione
filtri passa alto	attenuano le frequenze basse (passano le frequenze alte)
filtri passa basso	attenuano le frequenze alte (passano le frequenze basse)
filtri passa banda	attenuano le frequenza minori e maggiori di una certa frequenza
filtri elimina banda (notch)	eliminano una determinata banda di frequenze
filtri All-pass (o passa tutto)	alterano solo il tempo di propagazione (fase)
filtri di pesatura (A,B,C,D)	Usati nelle misure di rumore
Filtri a terzi di ottava	(o a mezza ottava, ottava, ecc) usati negli analizzatori di spettro
filtri equalizzatori	enfasi, deenfasi, equalizzazione, RIAA, ecc.
filtri anti alias	filtri passa basso ad elevata pendenza
Filtri di ricostruzione	Usati a valle dei convertitori D/A
Altri ancora….	Per es. filtri enfasi e deenfasi…RIAA…

All’interno di un diffusore a due vie troveremo una sezione di passa basso, che invia al woofer le basse frequenze (e attenua le alte), e una sezione di passa alto che invia le frequenze alte al tweeter (e attenua e basse).

Di norma i filtri sono raggruppati in classi (classi canoniche) a seconda delle caratteristiche di attenuazione e/o di risposta in fase e di ripple (ondulazioni della risposta. Per quanto riguarda la realizzazione dei filtri cross-over la perfetta conoscenza delle classi canoniche di filtri è essenziale. Raggiunta la perfetta conoscenza delle classi canoniche si capiscono alcune cose cose:

servono a poco perché il cross-over	regola il livello SPL relativo degli altoparlanti
	equalizza la risposta (in genere per renderla piatta)
	limita la banda passante.
le risposte dei filtri si riferiscono a segnali monodimensionali mentre un altoparlante genera un campo tridimensionale ed è omnidirezionale sono alle frequenze più basse.
le classi più utili sono le meno conosciute
i criteri indicati in letteratura, riguardo l’uso dei filtri, sono di carattere generale e, in particolare per i cross-over dei diffusori acustici, sono quanto meno opinabili.

Nel campo dei diffusori acustici si deve fare quello che serve e non quello che c’è scritto nei libri. Anche se, in pratica, servono a poco è illusorio pensare di poter progettare un filtro cross-over senza conoscere più che bene le classi canoniche.

La risposta in frequenza dell’altoparlante è il risultato della composizione della risposta dell’altoparlante stesso con la risposta del filtro che lo precede. Si può fare una prima utile osservazione: per limitare la distorsione prodotta da un altoparlante si deve limitare l’escursione del suo apparato mobile. Detto questo si veda la figura che segue.

Lo spostamento del diaframma di un altoparlante (a radiazione diretta) a parità di SPL prodotto, quadruplica per ogni dimezzamento della frequenza. Ne segue che un filtro passa alto del secondo ordine è il minimo richiesto per limitare lo spostamento e quindi la distorsione di un altoparlante (meglio ancora se di ordine superiore). Questo vale per woofer, midrange e tweeter. Imponendo un filtro passa alto del secondo ordine la risposta complessiva (o risposta acustica) di un medio o di un tweeter (a radiazione diretta) diventa del quarto ordine (a volte detto ordine acustico).

Ciò non toglie che a volte si utilizzi un singolo condensatore per filtrare un tweeter (filtro elettrico del primo ordine). Evidentemente questo si può fare se:

- il tweeter è particolarmente robusto e capace di escursioni adeguate (o caricato in una camera molto piccola rispetto al suo volume equivalente o VAS)

- la frequenza di cross-over è abbastanza alta (rispetto alla frequenza di risonanza del tweeter)

- il picco di risonanza è ragionevolmente “piatto” (QMS basso come in presenza di ferrofluido nel traferro).

Contrariamente si osserva un significativo aumento della distorsione di intermodulazione al crescere dell’SPL prodotto. Ricordiamo che, per quanto riguarda lo spostamento lineare della bobina mobile di un tweeter, valgono le stesse considerazioni che si devono fare per un woofer ed un midrange.

In questo esempio invertendo la fase di una delle due vie non si forma un “buco” in corrispondenza della frequenza di incrocio ma si osserva solo una modesta variazione dell’ampiezza. Questo avviene quando la differenza di fase tra il passa alto ed il passa basso è prossima a 90°. Si dice che i filtri sono in quadratura. Questa è la peggior condizione possibile perché, nel caso degli altoparlanti, genera un andamento in asse tutto sommato regolare ed accettabile ma con dei lobi di interferenza costruttiva e distruttiva da qualche parte nello spazio (in pratica con una dispersione verticale non buona probabilmente la peggiore posssibile).

Un incrocio acustico fatto come deve essere fatto: invertendo la fase di uno dei due altoparlanti si genera un “buco” che significa che i due altoparlanti sono perfettamente allineati in fase. Verificare la bontà dell’incrocio acustico di un cross-over è estremamente semplice: bastano 4 misure di risposta in frequenza.

Questo tuttavia non significa che gli altoparlanti siamo anche allineati nel tempo. Per verificarlo basta un metro.

Classi di Filtri: i filtri sono divisi in classi. Le più conosciute sono le seguenti:

Butterworth	All-poles (tutti poli) - massimamente piatto
Legendre	O filtri “L”. Hanno andamento monotono non crescente o non decrescente senza ripple) e sono basati sulle funzioni di Legendre.
Chebyshev	Equiripple -> elevata pendenza di attenuazione ma non piatto nella banda passante.
Bessel	Filtri ellittici a ritardo di gruppo costante (o quasi costante), attenuazione scarsa (risposta in frequenza ideale per i trasformatori di ingresso e uscita degli ampli di potenza).
Cauer	Filtri Ellittici ad elevata pendenza ma limitata attenuazione fuori banda
Gaussiani	A ritardo di fase costante, bassa pendenza
Filtri a terzi di ottava	L’attenuazione è definita dalle norme IEC R266, IEC R255 e ANSI S1.11-1966 Class III.
Filtri di pesatura	A, B e C definiti dalla normativa e per scopi specifici
Filtri poco conosciuti	Sono decisamente i più utili come i filtri di Legendre.

Dal punto di vista della progettazione del cross-over di un diffusore acustico non esiste un filtro migliore dell’altro e men che meno un filtro “generico” di generale applicabilità. Esiste semplicemente il “filtro che serve”. Si deve poi distinguere

la risposta del filtro	risposta elettrica del filtro che tiene conto sia del carico(altoparlante) che dei cavi e dell’amplificatore.
la risposta dell’altoparlante	Risposta acustica misurata in condizioni anecoiche con l’altoparlante montato in cassa
la risposta dell’altoparlante con il filtro	È quello che interessa: risposta acustica. Si può misurare o ottenere dalle due precedenti son la simulazione.

Per esempio un tweeter dinamico presenta una risposta del tipo passa alto del secondo ordine. Aggiungendo un cross-over del secondo ordine la risposta complessiva (risposta acustica) diventa del quarto ordine. Ne segue che lo studio della sola risposta elettrica (o la sovrapposizione delle sole risposte elettriche) dei filtri servono a poco. Uno dei problemi dei filtri elettronici attivi è che consentono di scegliere l’ordine ed la classe del filtro nell’ambito delle classi canoniche. Questo “difetto” viene controbilanciato aumentando il numero delle vie (in modo da sfruttare gli altoparlanti nel range dove la loro risposta è ragionevolmente piatta).

Un buon modo per imparare a realizzare i filtri cross-over e analizzare quelli che hanno fatto gli altri tenendo presente che certe soluzioni hanno soltanto giustificazioni economiche o “pubblicitarie” (nel senso che si fa qualche cosa di “diverso” solo per poter dire di aver fatto qualche cosa di “diverso”). I caso tipico di soluzioni con finalità più pubblicitarie che funzionali sono i filtri SineCap (che funzionano ma producono più danni che benefici) e i cosiddetti filtri bilanciati o simmetrici.

Ordine dei filtri

:

L’ordine del filtro è correlato alla “pendenza” ovvero la quantità di attenuazione che applica al segnale (per ottava o per decade). Più l’ordine è elevato e maggiore è l’attenuazione. Aumentano anche il numero di componenti richiesti e le rotazioni di fase (da qui l’erronea convinzione che i filtri di ordine basso siano migliori di quelli di ordine elevato): quello che conta è la fase (o meglio il ritardo di gruppo o l’eccesso di fase) della sovrapposizione delle vie e non la fase di ogni singola via. Sembra che questo sia un concetto di difficile comprensione. La tabella che segue indica l’ordine e l’attenuazione del filtro e mostra un passa alto ed un passa basso del tipo parallelo. Esistono anche le configurazioni duali (filtri tipo serie),

primo ordine	6 dB ottava	20 dB decade
Secondo ordine	12 dB ottava	40 dB decade
Terzo ordine	18 dB ottava	60 dB decade
quarto ordine	24 dB ottava	80 dB decade

Si deve tenere presente un altro fenomeno fondamentale. Se un filtro impone un polo alla frequenza f la fase risulterà in ritardo di 45° in f ma comincerà a “ritardare” a 0.1f (una decade prima) per arrivare a ritardare di 90° in 10f (una decade dopo). Quindi un singolo polo altera la fase per 2 decadi. Per fare un esempio pratico un filtro passa basso del primo ordine a 200 Hz altera la fase da 20 a 2000Hz. Tuttavia se si incrociano un filtro passa basso e un filtro passa alto (ideali) con la stessa frequenza di transizione si ottiene:

1 sT 1+ sT

---------- + ---------- = ---------- = 1

1 +sT 1+sT 1 + sT

Ovvero si ottiene una costante (e la fase è identicamente nulla). Questo per ribadire che l’andamento della fase della singola via non ha alcun senso: si deve valutare la risposta complessiva (sovrapposizione delle singole vie).

Configurazioni base per passa basso e passa alto del tipo parallelo e serie. Le espressioni valgono per carico puramente resistivo = R₀ (quindi sono poco più che indicative dell’ordine di grandezza dei componenti).

Dal punto di vista dell’ordine dei filtri, per quanto riguarda i diffusori acustici, i più indicati sono quelli di ordine pari (per la configurazione in parallelo) a partire dal secondo ordine e di ordine dispari per i filtri di tipo serie. Anche se non presenti in tabella si possono realizzare filtri del quinto, sesto, settimo…. ordine anche se di rara applicazione. Infatti più è alto l’ordine del filtro, maggiore è il numero di componenti necessari a realizzarlo e tanto più difficile (e costoso) risulta realizzare due filtri uguali.

Dal punto di vista pratico, se un altoparlante richiede un filtro superiore al terzo ordine, è meglio cambiare altoparlante e investire su un altoparlante migliore piuttosto che nel filtro.

Purtroppo l’impedenza di un altoparlante dipende dalla frequenza e questo costringe a progettare filtri ad hoc oppure ad aggiungere reti passive per regolarizzare il carico visto dal filtro. Di norma si utilizzano reti RC serie per compensare l’induttanza della bobina mobile di un woofer e, più raramente, delle reti risonanti RLC serie per compensare il picco corrispondente alla frequenza di risonanza fondamentale (per woofer, midrange e tweeter). Per compensare l’impedenza di un woofer in cassa chiusa servono 5 elementi, per compensare un reflex ne servono almeno 3 in più. Intervengono quindi anche valutazioni di tipo economico (induttori e condensatori di qualità sono costosi).

A Sinistra un raro esempio di filtro cross-over di ordine elevato (Klipsch La Scala): tweeter: passa alto del sesto ordine medio: passa alto del quarto ordine e passa basso del secondo ordine woofer: passa basso del terzo ordine. notare la protezione con PTC sul tweeter e la compensazione con la rete RLC in parallelo al medio. Le resistenze poste direttamente in serie al tweeter e al medio riducono il fattore di smorzamento visto dall’altoparlante. In tutto ci sono 22 componenti. Più elementi ci sono più la loro qualità deve essere elevata e le tolleranze basse. A destra un filtro tre vie standard con filtri del secondo ordine con 10 componenti.

Topologie di filtri particolari

Quello a sinistra + un normale filtro serie sovracompensato. Quello a destra, in realtà, è sempre un filtro serie dove sono stati tolti i condensatori (le pendenze teoriche sono di 3 dB/ottava). Se viene a fare l’esame di reti elettriche lo boccio.. Per non usare condensatori riduce l’impedenza (riduce l’efficienza). Esistono anche condensatori di buona qualità…..

Filtri realizzati con reti RC

Reti RC per realizzare filtri e reti di equalizzazione (su carico resistivo)

Effetto del filtro passa basso sulla risposta a bassa frequenza del woofer

Effetto del filtro passa basso del woofer sull’allineamento reflex.

Quando si progetta l’allineamento alle basse frequenze di un woofer non si può prescindere dall’effetto del filtro cross-over specie se la frequenza di cross-over del woofer è inferiore a 400 Hz.

Come si vede dalla figura, connettendo in serie al woofer una induttanza da 6 mH, e tenendo conto della resistenza associata all’avvolgimento, la risposta alle basse frequenze risulta pesantemente modificata. Per “riallineare” la risposta può essere necessario aumentare il volume del cabinet in modo consistente. Si noti anche la tensione ai capi dell’altoparlante (in verde) con il picco circa 70 Hz.

Filtri analogici, Filtri digitali

Un filtro attivo può essere realizzato in forma analogica o in forma digitale. I pregi e i difetti di queste due realizzazioni sono complementari: quello che è facile ottenere in un modo è difficile da ottenere nell’altro e viceversa. Per esempio le maggiori limitazioni di un filtro digitale sono la quantizzazione ed il troncamento che sono fenomeni assenti nel filtro analogico. I problemi principali con i filtri analogici sono dovuti alle tolleranze dei componenti ed alla conseguente difficoltà di realizzare due o più filtri uguali (cosa molto facile con i filtri digitali).

In un sistema di conversione analogico/digitale la prima cosa che incontra il segnale da convertire è una sezione di filtro analogica di tipo passa basso, normalmente attivo, di ordine elevato (il filtro anti alias).

Specularmene l’ultimo stadio di un convertitore digitale/analogico è sempre un filtro passa basso analogico attivo o passivo (filtro di ricostruzione). I filtri analogici sono comunque sempre presenti.

La quantizzazione è rappresentata dal numero di bit del convertitore A/D. Di norma sono multipli di 8 (8,16,24,32). Il CD audio contiene dati quantizzati a 16 bit. Per un filtro digitale si dovrebbe puntare sui 24 bit.

Il modo più banale per realizzare un filtro digitale consiste nel sommare una serie di versioni ritardate del segnale. Ogni versione ritardata viene moltiplicata per un fattore opportuno e sommata alle altre.

La figura qui sopra mostra solo 4 “passi”. Per realizzare un filtro preciso servono molti “passi” ma per questioni pratiche ad un certo punto ci si deve fermare e questo è appunto il troncamento cui si accennava. Come spesso accade c’è di mezzo il principio di Heisemberg (in particolare tempo-energia). Mentre il filtro digitale agisce su un numero finito di campioni quantizzati, il filtro analogico opera sul segnale continuo non quantizzato e non soffre di troncamento. Da questo punto di vista il filtro analogico è preferibile tuttavia, in pratica, realizzare due filtri anti alias analogici uguali ad elevata pendenza è quasi impossibile per cui si ricorre ai filtri digitali e si applicano “trucchi” quali il sovracampionamento o l’uso di più convertitori (specie D/A) in parallelo per attenuare i problemi (senza eliminarli).

Un’altra funzione molto difficile da realizzare in forma analogica (e facile in forma digitale) è il ritardo. La velocità di propagazione del segnale nei cavi è nell’ordine del 70% della velocità della luce nel vuoto. Consideriamo un cavo “lento” dove la velocità di propagazione vale 0.5c. Questo significa che per ritardare il segnale di un secondo servirebbe un tratto di cavo lungo centocinquantamila chilometri. Un cavo RG58 lungo un metro viene percorso dal segnale in circa 5 nano secondi (5 miliardesimi di secondo). Risulta quindi più pratico prendere un segnale analogico, convertirlo in formato digitale, scriverlo in una memoria, rileggerlo dopo un certo tempo e riconvertirlo in formato analogico.

I principali allineamenti dell’altoparlante

La risposta di un altoparlante alle basse frequenze presenta l’andamento di un filtro passa alto il cui ordine dipende dal particolare tipo di carico adottato.

La risposta dell’altoparlante cambia a seconda del carico e assume una funzione di trasferimento che va dal primo al quarto ordine. In realtà il dipolo è l’equivalente di un filtro passa alto del 3° ordine con fattore di merito molto basso (a doppia pendenza). La risposta si allinea al 1 ordine solo se la frequenza di risonanza è molto bassa. La fase è sempre in anticipo e la rotazione (alla frequenza corrispondente a –3dB) è di 45° per ogni ordine in più. A “frequenza 0” la fase tende ad una rotazione di 90° in anticipo per ogni ordine in più. Considerando queste caratteristiche dell’andamento della fase è del tutto normale trovare, in un sistema a tre vie, la fase del woofer invertita.

Altri esempi di filtri attivi e passivi

Qualsiasi testo moderno riporta decine di tipi di filtri realizzati con operazionali. E’ possibile realizzare filtri del quarto ordine attorno ad un singolo operazionale.

Filtri cross-over attivi e passivi

Si veda l’articolo dedicato a questo argomento: Base (N): 260 Filtri attivi e passivi (24.12.2015)

Pre-ringing:

Qualsiasi filtro a fase lineare che produca attenuazione verso le alte frequenze presenta risposta impulsiva caratterizzata da pre-ringing che è tanto più accentuato quento più l’attenuazione è decisa.

Se non si desidera il preringing basta utilizzare filtri a fase minima.