Teoria Unificata dei Segnali e dei Sistemi

di Mario Bon

8 ottobre 2015 – ultima revisione 10 dicembre 2016

A volte ci si chiede perché sia necessario dover imparare tanta matematica… ricordiamo allora che:

- i logaritmi consentono di trasformare prodotti ed elevamento a potenza in somme, divisioni e radici in sottrazioni

- la trasformazione di Fourier trasforma gli integrali di convoluzione in prodotti

- la trasformazione di Fourier trasforma le equazioni differenziali in equazioni ordinarie.

I matematici non amano eseguire calcoli complicati perché è noto a tutti che eseguendo i calcoli si commettono errori.

L’apoteosi della semplificazione del calcolo, in ambito elettronico, si raggiunge con i diagrammi di Bode che consentono di ottenere la risposta di sistemi (anche complicati) impiegando solo un righello e un foglio di carta con coordinate semilogaritmiche (che si trovano in tutte le cartolerie). L’elettronica è la disciplina che ha sviluppato gli strumenti di calcolo più semplici e potenti. Se a questi aggiungiamo la notazione di Dirac raggiungiamo il massimo della sintesi.

Abbiamo visto sia la teoria Unificata dei Segnali Osservabili che la Teoria dei Sistemi (o meglio la Teoria Classica dei Sistemi). Nell’esporre la Teoria dei Sistemi si è detto che, nel dominio del tempo, la risposta di un sistema lineare è data dalla convoluzione dello stimolo x(t) con la funzione caratteristica h(t) del sistema.

Nel dominio della frequenza la convoluzione si trasforma nel prodotto degli spettri per cui:

|y(t)> = <h(t) | x(T-t)> = h(t) Ä x(t) e Y(jw) = H(jw) X(jw) (1)

La risposta di un sistema lineare si ottiene come convoluzione dello stimolo e della funzione caratteristica (o risposta all’impulso) h(t) del sistema.

In regime lineare il prodotto H(iw) Vin(jw) è commutativo (così come è commutativa la convoluzione):

H(iw) Vin(jw)= Vin(jw) H(iw) = vin(t) Ä hin(t) = hin(t) Ä vin(t)

Ne segue che:

In regime lineare questi due sistemi forniscono la stessa risposta y(t) (2) Se il sistema non è lineare la cosa non funziona perché la convoluzione non è commutativa.

Ciò significa che la stessa risposta y(t) si ottiene anche se h(t) è lo stimolo e x(t) è la funzione caratteristica del sistema. Le funzioni y(t), h(t) e x(t) appartengono tutte allo spazio L2. Ne segue che

· tutte le proprietà dei segnali valgono per le funzioni caratteristiche

· tutte le proprietà delle funzioni caratteristiche valgono per i segnali

In sostanza, in regime lineare, non esiste una differenza formale tra segnale e funzione impulsiva. Il fatto che la funzione caratteristica di un sistema sia anche detta “risposta impulsiva” non è un caso.

Quindi non ha senso distinguere una “Teoria dei Segnali” da una “Teoria dei Sistemi” quando in realtà esse trattano le stesse funzioni e le stesse trasformazioni (omomorfismi tra spazi vettoriali).

Le funzioni dello spazio L₂ rappresentano sia i segnali che i sistemi e questo non fa che accentuare l’importanza dello spazio L₂ , degli spazi di Hilbert, degli spazi vettoriali e degli isomorfismi.

Non è difficile dimostrare che lo spazio dei segnali fisici e lo spazio dei sistemi fisicamente realizzabili sono isomorfi (basta rileggere la (2) e affermare che un “sistema” rappresenta una particolare trasformazione eseguita su un segnale e viceversa).

Ricapitoliamo la corrispondenza tra i postulati alla base della Teoria dei Segnali e della Teoria dei Sistemi:

Sistema	Segnale	Principio fisico o matematico
Tempo di propagazione finito	Velocità di propagazione finita	La velocità della luce è finita. La velocità di propagazione di un segnale è uguale alla velocità di propagazione nel sistema.
Causale	h(t) è una funzione monodroma	Anisotropia del tempo
Tempo invariante	Non espande e non comprime gli intervalli di tempo	Omogeneità del tempo -> Scelta arbitraria dell’origine dell’asse temporale
Fisicamente realizzabile	Segnale fisico	Causale e tempo invariante

In sostanza tanto i segnali quanto i sistemi devono rispettare l’omogeneità ed anisotropia del tempo e il fatto che la velocità della luce sia finita (postulati della Relatività). Ciò rappresenta il fatto che segnali e sistemi appartengono allo stesso Universo fisico.

Di seguito vediamo la corrispondenza tra le proprietà dei segnali e dei sistemi :

Sistema	Segnale	Principio fisico o matematico
Lineare	Sovrapposizione (natura bosonica dei segnali)	H(jw) si rappresenta con una combinazione lineare dei versori di base dello spazio vettoriale.
Reale	h(t) reale	Proprietà di simmetria della serie di Fourier, o proprietà di simmetria dei sistemi di base - la parte reale di H(jw) è pari (il modulo è pari) - la parte immaginaria di H(jw) è dispari (la fase è dispari)
Energia limitata	h(t) appartiene a L2	Le funzioni che rappresentano i segnali e i sistemi appartengono a L2
Con memoria	Nei sistemi a banda limitata la autocorrelazione è diversa da una Delta di Dirac	Il concetto di “sistema con memoria” si estende anche ai segnali

Fase minima	Fase e modulo sono ricavabili uno dall’altro	H(jw)H^-1(jw) = 1 Esiste l’inversa, equalizzabile.
Fase lineare	La Fase è proporzionale alla frequenza	Ritardo di gruppo costante (vds linee di trasmissione) e conservazione della forma.
Fase mista	Né lineare né a fase minima	Si misura l’eccesso di fase rispetto al corrispondente sistema a fase minima.

I sistemi di altoparlanti, a causa della diffrazione ai bordi che è sempre presente, sono sistemi a fase mista per i quali si deve valutare l’eccesso di fase.

Ricordiamo che anche in un sistema a fase minima si può ottenere un ritardo di gruppo costante (uguale a zero) almeno in un range limitato di frequenza.

Il concetto di “Sistema con memoria” e di “Sistema a fase minima” si estende anche ai segnali perché sia la memoria che la fase minima sono, alla fine, proprietà delle funzioni che rappresentano sia i sistemi che i segnali.

La convoluzione di due generici segnali x(t) e y(t) corrisponde, dal punto di vista fisico, a far transitare un segnale x(y) in un sistema caratterizzato da y(t) o viceversa.

Lo spettro risultante è il prodotto degli spettri.

Modellare lo spettro di un segnale x(t) facendo la convoluzione con un altro segnale h(t) è solo un modo incasinato per dire che si fa passare un segnale x(t) attraverso un filtro caratterizzato da h(t)…. sempre una convoluzione si deve fare (il prodotto degli spettri).

Deconvoluzione

Abbiamo definito la risposta di un sistema come la convoluzione dello stimolo con la funzione impulsiva. Nel dominio della frequenza questo si rappresenta con il prodotto degli spettri:

Y(jw) = H(jw) X(jw)

Invertendo questa relazione si ottiene H(jw):

H(jw) = Y(jw) / X(jw)

Affinché l’operazione sia possibile X(jw) deve essere diversa da zero alle frequenze in cui Y(jw) è diversa da zero altrimenti H(jw) diverge. In sostanza Y(jw) e X(jw) devono avere lo stesso spettro come dire che la risposta non deve contenere distorsione non linre. Da ciò deriva anche l’affermazione che “la distorsione presente nella risposta non è correlata con lo stimolo” nel senso che nello stimolo non era presente.

Nel caso gli spettri di stimolo e risposta contengano tutte le componenti spettrali, ne segue che il calcolo della funzione di trasferimento, attraverso la convoluzione, è sensibile alla presenza di distorsione non lineare nella risposta.

Nella pratica il calcolo della deconvoluzione funziona per due motivi:

- la presenza del rumore (sicché lo stimolo e la risposta contengono comunque tutti i versori di base)

- la distorsione, in regime di piccoli segnali, è bassa per definizione.

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