Waterfall: diagrammi di decadimento e di accumulazione

Storia ed Interpretazione

di Mario Bon

26 febbraio 2012

riletto 19 novembre 2012

In passato per caratterizzare un diffusore acustico si eseguiva la risposta al burst (dall’inglese: scoppio, esplosione, scatto, scroscio).

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In questa misura il sistema sotto test (DUT = Device Under Test = dispositivo sotto test) viene stimolato con dei "treni d'onde sinusoidali" centrati su diverse frequenze. In tal modo si evidenziano i fenomeni di interferenza tra i diversi altoparlanti, l’effetto di sorgenti secondarie, i break up delle membrane e altre cose interessanti. Particolarmente significative sono le risposte al burst in corrispondenza delle regioni di cross-over nei sistemi multivia. Per una analisi completa servono un gran numero di rilevazioni a frequenze diverse.

La risposta al burst è comunque una misura valida anche se soffre degli stessi difetti della risposta in frequenza (in asse): sostanzialmente dipende dalla scelta della posizione e distanza del microfono di misura. Per diffusori a due vie, dove la distanza dei centri acustici di tweeter e woofer e inferiore alla lunghezza d’onda della frequenza di incrocio, ponendo il microfono ad un metro di distanza in asse tra woofer e tweeter si ottiene una misura credibile. Quando l’estensione della sorgente supera il mezzo metro il microfono dovrebbe essere posto ben oltre il metro o la misura diventa sensibile anche rispetto a piccoli spostamenti del microfono.

Con le prime schede di acquisizione digitali corredate di programmi specifici per le misure audio (vds Clio e MLSSA) la rappresentazione Waterfall è diventata popolare (diagrammi di decadimento e accumulazione).

Per inciso si deve ricordare che queste schede, pur ottime, non fanno miracoli e non possono sopperire più di tanto alla mancanza di un ambiente adatto alle misure. In generale o l’ambiente di misura è molto grande oppure deve essere anecoico. Fine dell’inciso.

La Waterfall rappresenta la risposta al burst a tutte le frequenze. In particolare il diagramma di accumulazione rappresenta l’attacco (la salita del segnale) mentre il diagramma di decadimento rappresenta il rilascio (la fine del segnale). Per ottenere la stessa quantità di informazioni si dovrebbe ripetere la misura al burst per migliaia di volte. La waterfall è una misura correlata alla Chiarezza.

Nel seguito daremo la dimostrazione matematica che sta alla base della implementazione e della interpretazione della waterfall.

Per prima cosa la waterfal non è una misura ma un particolare modo di rappresentare la misura al burst. Waterfall significa cascata e in effetti la waterfall assomiglia ad una cascata di risposte in frequenza. Forse per questo alcuni interpretano la waterfall come un insieme di risposte in frequenza "ad istanti diversi". Nulla di più sbagliato. Come si dimostra nel seguito la waterfall rappresenta la risposta del DUT ai burst sinusoidali.

Il burst.

Un burst è un segnale transitorio ottenuto moltiplicando una sinusoide per un paio di segnali a gradino (funzione di Heaviside). Il tutto viene regolato in modo che la sinusoide parta da zero e percorra un numero intero di periodi. La figura è molto più chiara di ogni spiegazione.

Quando un altoparlante viene alimentato con un burst, la pressione prodotta, rilevata dal microfono, ha un aspetto simile a quello mostrato in figura.

Si distingue il transiente di salita e il transiente di discesa. Se il burst dura abbastanza a lungo tra la salita e la discesa si osserva la risposta "in regime stazionario". Se il burst dura abbastanza a lungo in questa zona si sovrappongono i contributi delle sorgenti secondarie (per esempio gli spigoli del cabinet) o delle riflessioni dell’ambiente. Nel tratto “stazionario” è possibile misurare la distorsione armonica.

Waterfall: la dimostrazione

La figura che segue mostra un “diagramma di decadimento” (Cumulative Spectral Decay). In realtà non ha nulla di “spettrale” perché rappresenta un insieme di risposte nel dominio del tempo (anche se ottenuta eseguendo una serie di trasformazioni di Fourier).

Vediamo come si ottiene questa Waterfall. Ricordiamo che:

	Funzione di Heaviside
	Burst
	Integrale di Fourier

Un sistema lineare è descritto dalla funzione h(t) tale per cui l’uscita del sistema y(t) è data dalla convoluzione di h(t) con lo stimolo di ingresso x(t)

Scriviamo l’uscita per esteso:
consideriamo l’uscita all’istante t1:
E riscriviamola come segue: se w è costante y(t1) è uno scalare. (l’esponenziale in t1 è una costante - non dipende da T – e viene fattorizzato)
Se w è variabile y dipende da t1 e da w. Passando al modulo l’esponenziale in t1 scompare (modulo=1)

Ora se w rimane costante y(t1) è uno scalare e abbiamo semplicemente riscritto la convoluzione in una forma diversa. Ma se non assegniamo un valore ad w allora y(t1) diventa y(t1,w) e si può leggere l’integrale come la trasformata di Fourier di H(t1-T) H(T) moltiplicata per il fattore di fase exp(jwt1).

Nel caso particolare in cui sia t1=0 si ottiene lo spettro di y.

Ne segue che y(t1,w) al variare di t1 fornisce i valori di ampiezza della risposta al burst all’istante t1 per ogni w (diagramma di accumulazione). Dato che interessa il valore del modulo dello spettro l’esponenziale in t1 non è rilevante (modulo unitario, il modulo del prodotto e uguale al prodotto dei moduli). Utilizzando come stimolo il burst rappresentato di seguito si ottengono i diagrammi di decadimento.

Figura: ipotetica risposta impulsive e funzione di Heaviside per la pesatura,

esempi di waterfall (decadimento) per tre diversi tweeter SEAS

Diagrammi di accumulazione e decadimento presentati su 60 dB di dinamica. I decadimento riguarda i primi 2 millisecondi (da AudioVisione). Anche se l’enorme quantità di dettagli rende difficile la lettura si notano bene delle code in gamma media.

In questo caso si vede bene come dopo due millisecondi rimane ancora una quantità di energia da smaltire. Pulire una waterfall è molto facile: basta restringere la dinamica della misura e una quantità di dettagli scompaiono. Qui l’analisi si estende fino a 12500 Hz.

Per essere coerenti con la definizione di T60 la dinamica di questa misure dovrebbe essere di 60 dB.