Condotto Cilindrico (di lunghezza finita)

 

Il condotto di accordo reflex è un tubo aperto ad entrambe le estrremità.

 


\begin{picture}(5,1.75) \put(0.0,0.5){\includegraphics{figures/cylinder.eps}} ... ...,0.2){$x=0$} \put(4.07,0.2){$x=L$} \put(0.12,0.2){Cross-section} \end{picture}

tubo cilindrico, condotto per reflex

 

 

 

 

L’impedenza di ingresso (x=0) di un tubo cilindrivo vale:

(Z0 è l’impedenza per un’onda piana e ZL l’impedenza del carico)

 

$\displaystyle Z_{IN} = \frac{P(0,t)}{U(0,t)}$

=

$\displaystyle Z_{0}\left[\frac{A + B}{A - B}\right]$

(15)

 

=

$\displaystyle Z_{0}\left[\frac{Z_{L} \cos (kL) + j Z_{0} \sin(kL)}{jZ_{L} \sin(kL) + Z_{0} \cos(kL)}\right].$

(16)


L’espressione di ZL è quella di un pistone posto alla fine di un lungo tubo o di un pistone su parete infinita a seconda del tipo di flangia.

 

L’impedenza di ingresso di un tubo di lunghezza finita si stima usando l’approsimazione a bassa frequenza ponendo  ZL=0  per tubo aperto o ZL = infinito per un tubo chiuso

In queso caso la (16) diventa:

 

\begin{displaymath} Z_{IN} = -jZ_{0}\cot(kL) \end{displaymath}

per un tubo terminato rigidamente:

(17)

\begin{displaymath} Z_{IN} = jZ_{0}\tan(kL) \end{displaymath}

per il tubo ideale aperto:

(18)

 

A bassa frequenza

$\tan(kL)$

diventa kL e l’impedenza di ingresso si riduce a:

 $j \omega \rho L / S.$

Questa è l’espressione dell’impedenza per un tubo corto e aperto (inertanza acustica).

Similmente per

 $\cot(kL),$

la impedenza di ingresso di un tubo rigidamente terminato diventa:

 $-(j/\omega) (\rho c^{2}/L S),$

che equivale all’impedenza di una cavità chiusa valida a bassa frequenza.

 

Eguagliando il tubo aperto in  x=0 con il vslore di  ZIN=0 nella espressione precedente, si ottengono le frequenze di risonanza del tubo chiuso ad una estremità (o-c) e del tubo aperto ad entrambe le estremità (o-o) . Per

 

 $n = 1, 2, \ldots$

tubo chiuso (open-closed)$\displaystyle f^{(\mbox{o-c})}$

=

$\displaystyle \frac{(2 n - 1) c}{4 L}$

(19)

tubo aperto (open-open)$\displaystyle f^{(\mbox{o-o})}$

=

$\displaystyle \frac{n c}{2 L},$

(20)


Il tubo chiuso ha una frequenza fondamentale con lunghezza d’onda pari a 4 volte la lunghezza del tubo stesso e risonanze più elevate che corrispondono a interi dispari della fondamentale

 

Il tubo aperto ha la fondamentale corrispondente ad una lunghezza d’onda pari al doppio della lunghezza e le superiori in corrispondenza a tutti i multipli interi della fondamentale.

 

Per una linea di trasmissione, che è sostanzialmente un tubo aperto riempito di materiale fonoassorbente, il numero d’onda k è una quantità complessa ma la forma dell’impedenza non cambia.