Trattrice Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La trattrice (dal latino tractrix,
che deriva a sua volta da trahere, trainare) è una particolare curva
geometrica, in cui i segmenti tangenti tra una curva e una retta data risultano
di uguale lunghezza; in pratica, un oggetto (o un punto) viene trascinato lungo
un piano orizzontale (xy) da un segmento trascinatore di lunghezza costante.
Tale segmento mantiene un suo estremo su un punto della retta y che si muove di
moto rettilineo uniforme con velocità infinitesimale. L'altro estremo è
sovrapposto all'oggetto trascinato, il quale rimarrà sempre equidistante da y
rispetto alla direzione del proprio moto in quell'istante. La trattrice viene
chiamata anche curva di inseguimento o curva di caccia. Fu
introdotta per la prima volta da Claude Perrault nel 1670, e studiata Isaac
Newton nel 1676, da Christian Huygens nel 1692, da Leibniz nel 1692, da John
Perks nel 1706, da Johann Poleni 1729
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Trattrice con oggetto
posizionato inizialmente nel punto (4,0) L’oggetto da trainare si trova
in (4,0) e viene trascinato da
una trattore che si sposta lungo
l’asse y partendo da (0,0). Il punto ed il trattore sono collegati da un’asta
rigida di lunghezza a |
Derivazione
matematica
Supponiamo che un oggetto sia
posizionato nel punto (a,0) ed il trascinatore nell’origine, in modo
tale che a sia la lunghezza del segmento che li unisce. Il trascinatore
inizia a muoversi lungo l’asse y nel verso positivo. Ad ogni istante, il
segmento sarà tangente alla curva y=y(x) descritta dall’oggetto. Il
movimento del punto trascinato è descritto dall’equazione differenziale
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con condizione iniziale y(a)
= 0 |
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soluzione |
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Il segno meno si applica qundo
il trascinatore si muove nel verso negativo dell’asse y. |
La trattrice è composta da due
rami che si incontrano nel punto di cuspide (a,0).
Equazioni
della trattrice
Trigonometrica:
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Iperbolica:
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Differenziale:
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Proprietà
della trattrice
La proprietà essenziale della
trattrice è che la lunghezza della tangente tra la stessa e l’asse ‘’x’’ (che
ne rappresenta l’asintoto) rimane costante per qualsiasi punto.
La trattrice, per via di questa
proprietà, può essere vista come:
- il
luogo geometrico del centro di una spirale iperbolica che ruota (senza
scivolare) attorno ad una retta.
- l’evoluzione
della funzione descritta da una corda flessible, non elastica ed omogenea
bloccata agli estremi, soggetta ad un campo gravitazionale ed avente
equazione:
- la
traiettoria determinata dal punto medio dell’asse posteriore di
un’automobile trainata da una corda con velocità e direzione costanti
(inizialmente perpendicolare al veicolo); la funzione correlata ammette un
asintoto orizzontale, la curva è simmetrica rispetto all’asse x e
il raggio di curvatura è dato dall’equazione:
.
Una grande implicazione fornita
dalla trattrice fu lo studio della superficie creata dalla rivoluzione della
stessa attorno al suo asintoto: la pseudosfera (analizzata da Eugenio Beltrami
nel 1868, che si rivelò particolarmente interessante nell’interpretazione della
geometria non euclidea di Nikolai Ivanovich Lobachevsky). A differenza della
sfera, che possiede una curvatura gaussiana costante e positiva, la pseudosfera
ha invece una curvatura gaussiana costante e negativa.
Altre proprietà della trattrice
sono le seguenti:
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La lunghezza dell’arco di uno
dei rami tra x=x1 e x=x2 |
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L’area compresa tra la trattrice
e il suo asintoto. Può essere calcolata tramite un integrale. |
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l’evoluta della trattrice
(inviluppo delle normali della trattrice) è la catenaria |
